Выделение геологических доменов и геостатистика

Весовые коэффициенты кригинга при наличии избыточных данных — струнный эффект и отрицательные весовые коэффициенты

Авторы статьи - Хантер Марквоорт, Клейтон В. Дойч,
Университет Альберты

10 сентября 2024 г.

Введение

Большинство моделей ресурсов в горнодобывающей промышленности построены с помощью кригинга. Каждая оценка блока в модели является локально-линейной оценкой, основанной на данных, полученных из близлежащих источников; веса различаются для каждого блока сетки. Кригинг — это математически оптимальное решение для присвоения весов данным при оценке в местах, где не проводилась выборка. Оптимальность определяется как минимизация квадрата разницы между оценкой и неизвестной истинной величиной (Leuangthong, Khan, & Deutsch, 2011). Полезность кригинга была доказана тысячами моделей и валидационных исследований, проводившихся на протяжении десятилетий. Несмотря на доказанную эффективность кригинга, на практике необходимо принимать меры по его внедрению для решения проблем, связанных с эффектом струны и отрицательными весами. Эти проблемы возникают из-за избыточности данных.

Противоречивые результаты

В этой статье рассматриваются два сценария, в которых веса кригинга кажутся противоречивыми. Эти сценарии называются «струнный эффект» и «отрицательные веса». Струнный эффект возникает, когда большие веса присваиваются конечным точкам цепочки коллинеарных данных (см. рис. 1), проще говоря, краевым пробам выборки в скважинах. Отрицательные веса могут возникать, даже если значение данных положительно коррелирует с расположением блока сетки, что обычно наблюдается, когда точка данных находится позади или экранирована другими данными (см. рис. 2). (Deutsch, 1993) утверждал, что большие веса, присваиваемые конечным точкам цепочки данных, нецелесообразны, и предложил практические решения. Цель этой статьи — лучше понять эти противоречивые результаты, продемонстрировать их математическую обоснованность и показать практические ситуации, в которых рекомендуется применять меры по смягчению последствий.

Практические ситуации и смягчение последствий

Существуют практические ситуации, требующие смягчения струнного эффекта и отрицательных весов, связанных с экранированными данными. В некоторых типах месторождений высокие содержания часто встречаются на геологических границах, к примеру содержания золота могут увеличивается в краевых частях жилы. В этом случае струнный эффект может привести к завышению содержаний в оценённых блоках. Отрицательные веса могут создавать ореол отрицательных оценок содержания вокруг точки данных с высоким содержанием (Deutsch, 1996). Это происходит потому, что точка с высоким содержанием получает отрицательный вес при экранировании другими точками данных. Если содержание достаточно высокое, отрицательный вес может перевесить положительные веса, присвоенные окружающим данным с относительно низким содержанием, что приводит к отрицательной оценке содержания. Эти нежелательные последствия смягчаются с помощью ограничений поиска при кригинге.

Противоречивые веса

Определенные конфигурации данных могут приводить к противоречивым весам при решении уравнений кригинга. Эти противоречивые веса вызваны избыточностью данных (Leuangthong et al., 2011). Двумя проявлениями этого явления являются струнный эффект и отрицательные веса.

Струнный эффект

Струнный эффект возникает в двух распространенных ситуациях. Первая — когда данные скважин ограничиваются геологической границей, определяющей стационарную область. Вторая — когда данные скважин ограничиваются границами локального эллипсоида поиска (Deutsch, 1994). Обе ситуации создают цепочку данных. Веса, присвоенные конечным точкам данных, часто больше, чем веса, присвоенные внутренним точкам данных. Эти веса могут показаться не интуитивными. Неявное предположение о бесконечном стационарном домене подразумевает, что конечные точки данных дают больше информации о всём объёме за пределами цепочки, что приводит к непропорциональным весам (Deutsch, 1993).
На рисунке 1 показаны веса SK и OK (простого и ординарного кригинга), присвоенные 9 точкам данных, для изменяющихся диапазонов вариограммы при оценке в точке, удаленной на 8 метров от центра цепочки проб. Диапазоны вариограммы имеют основное направление 0 градусов, то есть вдоль оси цепочки. Диапазон вариограммы «16-32 Анизотропный» описывает диапазон 16 в направлении «y» и 32 в направлении «x». Следует отметить следующие результаты:

Эффект струны сильнее в OK по сравнению с SK.
Эффект струны ниже при наличии эффекта самородка как для SK, так и для OK.
Анизотропия уменьшает эффект струны, когда диапазон вариограммы выше в направлении, перпендикулярном струне.

Рис. 1. Цифры напротив проб - это расчётные веса кригинга, а длинна столбчатой диаграммы отображает относительный размере этого веса. Тут мы явно видим, что краевые пробы получают наибольшие веса.

Представленные графики, отображают струнный эффект и его вариации при изменении диапазонов вариограммы для простого и обычного кригинга.

Отрицательные веса

Отрицательные веса возникают, когда данные, которые находятся дальше от предполагаемого местоположения, отсеиваются более близкими данными, что делает внешние точки избыточными. На рисунке 2 показана одна из возможных конфигураций данных, при которой могут возникать отрицательные веса, а также влияние различных параметров вариограммы. Отрицательные веса являются правильными и позволяют экстраполировать тенденции в данных (Deutsch, 1996). Обратите внимание, что это происходит, когда все ковариации являются положительными, а ковариационная матрица является положительно определенной.

изменение отрицательных весов с диапазоном вариограммы для простого и обычного кригинга.

Рис. 2. Интерактивный график, отображающий изменение отрицательных весов с диапазоном вариограммы для простого и обычного кригинга.

Струнный эффект и отрицательные веса кажутся разными явлениями, однако они являются проявлениями одного и того же основного принципа: избыточности. Веса кригинга рассчитываются путём минимизации дисперсии ошибки. Члены 1 и 2 в уравнении дисперсии ошибки относятся к конфигурации данных и избыточности. Струнный эффект возникает потому, что конечные данные менее избыточны, чем данные внутренней цепочки проб. Отрицательные веса возникают, поскольку более близкие данные делают внешние данные избыточными.

Правильность весов кригинга

Эксперимент 1

Два эксперимента проводятся в стационарных условиях для проверки оптимальности весов кригинга. Хотя идеальная эргодическая (бесконечно большая) среда требует размера области от трех до десяти раз большего, чем наибольший диапазон вариограммы, эти эксперименты проводятся на конечной сетке размером 128 на 128 и 250 на 250. Диапазоны вариограммы варьируются от 10 до 128, и некоторые из них не могут считаться эргодическими по общепринятым стандартам. В первом эксперименте сравниваются методы оценки SK, OK и обратного расстояния в конфигурации данных со струнным эффектом и отрицательным весом на симулированной сетке данных 128 на 128. Оценки проводятся в каждой точке сетки и сравниваются с реальными значениями. Эксперимент проводится с изменением свойств вариограммы: изотропной, анизотропной и с эффектом самородка.
В первой таблице приведены результаты экспериментов 1 и 2 для конфигурации с струнным эффект, а во второй таблице представлены результаты для конфигурации с отрицательным весом. Результаты отображаются с использованием среднеквадратичной ошибки (RMSE), где более низкие значения указывают на лучшее воспроизведение. SK превосходил другие методы оценки почти во всех конфигурациях.

Веса кригинга при наличии избыточных данных – Струнный эффект и отрицательные веса

Сравнение результатов RMSE экспериментов 1 и 2 для конфигурации данных с струнным эффектом.

Сравнение результатов RMSE экспериментов 1 и 2 для конфигурации данных с отрицательным весом.

Эксперимент 2

В этом эксперименте оптимизируются веса и сравниваются с весами SK в конфигурации с струнным эффектом. Две реализации данных генерируются на сетке 250 на 250, каждая реализация преобразуется в табличную форму в двух ориентациях: исходная и перевернутая версия. Это гарантирует отсутствие артефактов «вверх или вниз», позволяя результатам быть стационарными и симметричными. λ1 через λ9 изначально устанавливаются на 1/9. λ выбирается случайным образом и изменяется с коэффициентом от 0,8 до 1,2. RMSE рассчитывается для всей таблицы с новым lambda. Если ошибка меньше, новый lambda сохраняется; в противном случае сохраняется исходный lambda. Этот цикл выполняется 200 000 раз, а затем повторяется с шагом от 0,99 до 1,01 для уточнения весов. Эксперимент проводится 8 раз для обеспечения воспроизводимости. Оптимизированные вручную веса практически идентичны SK. Расхождения указываются со вторым или третьим знаком после запятой. На рисунке 3 показаны результаты испытаний 1 и 2.

Сравнение оптимизированных весов и весов SK

Рис. 3. Сравнение вручную оптимизированных весов и весов SK из проб 1 и 2 для эксперимента 2.

Эти два эксперимента в совокупности демонстрируют оптимальность и правильность весов кригинга с помощью различных подходов:

Эксперимент 1 сравнивает методы кригинга с другими традиционными методами взвешивания. Результаты показывают, что веса SK являются оптимальными как в конфигурациях данных со струнным эффектом, так и в конфигурациях данных с отрицательными весами.
В эксперименте 2 сравниваются веса, оптимизированные вручную, с весами SK. Результаты доказывают, что веса кригинга являются почти оптимальными решениями для минимизации дисперсии ошибок.

Струнный эффект и отрицательные веса являются математически правильными и доказали свою оптимальность. Однако в практических условиях эти противоречивые веса могут вызвать проблемы для геостатистической оценки и требуют смягчения.

Смягчение неинтуитивных весов

Струнный эффект может привести к завышению или занижению оценки ресурсов. Пример, когда струнный эффект может привести к завышению оценки, описан в следующем сценарии. Руда с высокими содержаниями часто находится на геологических границах месторождений полезных ископаемых, которые часто используются для определения стационарных доменов. Струнный эффект присваивает высокие веса приконтактым пробам, что приводит к завышению оценки. На рисунке 4 показан упрощенный сценарий, в котором струнный эффект вызывает завышение оценки в центре цепочки с неограниченным OK. Поведение смещения будет меняться в зависимости от того, где находятся руды с высоким или низким содержанием или при наличии тренда.

Рис. 4. Результаты неограниченной оценки OK на расстоянии 20 м от цепочки из 20 данных, подчеркивающие смещение в сторону завышения.

Для смягчения этого последствия струнного эффекта предпринимаются два шага.

Композитируйте пробы соответствующим образом.
Ограничьте количество проб на скважину до 2 или 3.

На рисунке 5 показан эффект ограничения поиска OK путем ограничения количества проб, используемых на скважину, до трех. Оценка менее гладкая и пробы на контакте не смещают оценку в центре области.

Рис.5. Результаты ограниченной оценки OK на расстоянии 20 м от цепочки из 20 проб, подчеркивающие влияние ограничения поиска на струнный эффект.

Отрицательные веса также математически верны и позволяют экстраполировать тенденции и особенности данных. Без них было бы невозможно оценить данные выше или ниже пределов (Deutsch, 1996). Решение уравнений кригинга не ограничивает оценку выше нуля, то есть значения могут быть и отрицательными. Это приемлемо для некоторых неограниченных переменных (например, нормально распределённых значений или высоты), но не подходит для физических переменных (например, содержаний или мощности).
Существует три варианта смягчения отрицательных весов:

Ограничить отрицательные оценки содержаний, сбрасывая их до нуля. Этот метод математически корректен и дает наиболее близкую правдоподобную лучшую оценку.
Ограничить радиус поиска. Как правило, до эффективного диапазона или 2–3х интервалов данных.
Ограничить количество данных, используемых для каждой оценки, либо в целом, либо по октантам, ограничив количество отбираемых данных, используемых для каждой оценки.

На рисунке 6 сравниваются неограниченные и ограниченные результаты OK. Фиолетовая точка в центре представляет пробу с высоким содержанием, а черные точки представляют пробы с низким содержанием. Все результаты оценки ниже нуля отображаются красным цветом. В этой конфигурации данных проба с высоким содержанием может вызвать отрицательные оценки содержания при использовании неограниченного поиска. В этом примере ограничение поиска OK до 1 пробы на октант смягчает проблему отрицательных оценок.

Рис. 6. Сравнение ограниченных и неограниченных результатов OK. Проба с высоким содержанием в центре обозначена фиолетовой точкой, а пробы с низким содержанием обозначены черными точками.

Ограничение поиска в идеальной стационарной эргодической среде увеличит RMSE с 1 до 5% по сравнению с большим поиском, охватывающим струнный эффект и отрицательные веса. Однако на практике важно помнить, что реальные геологические условия не являются ни стационарными, ни эргодическими.

Обсуждение

В этой сатье рассматриваются тонкости кригинга, современного оптимального геостатистического метода присвоения весов данным при оценке в неизвестных местах. С помощью серии экспериментов подтверждается правильность и оптимальность весов кригинга. Эксперименты подчёркивают превосходство кригинга над традиционными методами взвешенной оценки и оптимальность весов кригинга.
Несмотря на их математическую правильность и оптимальность, неинтуитивные веса, такие как струнный эффект и отрицательные веса, могут создавать практические проблемы. Струнный эффект может привести к завышению или занижению оценки в случаях, когда высокое или низкое содержание встречается на контактах рудных тел в пределах месторождений полезных ископаемых. Это требует применения стратегий смягчения последствий, таких как соответствующее композитирование и ограничение количества проб на скважину. Отрицательные веса, хотя и математически правильные, могут привести к невозможным отрицательным оценкам физических переменных, таких как содержание или мощность. Стратегии смягчения последствий включают сброс отрицательных оценок до нуля, ограничение радиуса поиска и ограничение количества точек данных, используемых для каждой оценки.
Хотя кригинг остаётся мощным и надёжным методом геостатистических оценок, понимание того, как рассчитываются веса и учёт последствий неинтуитивных весов имеют решающее значение для его эффективного применения в практических сценариях. Обсужденные методологии и стратегии смягчения последствий обеспечивают основу для получения точных оценок кригинга в различных геостатистических контекстах.

Литература

Chilès, J.-P., & Delfiner, P. (2009). Geostatistics: Modeling spatial uncertainty (Vol. 497). John Wiley & Sons.
Deutsch, C. V. (1993). Kriging in a finite domain. Mathematical Geology, 25, 41–52.
Deutsch, C. V. (1994). Kriging with strings of data. Mathematical Geology, 26(5), 623–638.
Deutsch, C. V. (1996). Correcting for negative weights in ordinary kriging. Computers & Geosciences, 22(7), 765–773.
Leuangthong, O., Khan, K. D., & Deutsch, C. V. (2011). Solved problems in geostatistics. John Wiley & Sons.
Rossi, M. E., & Deutsch, C. V. (2013). Mineral resource estimation. Springer Science & Business Media.